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課程名稱 |
機率論二
Probability Theory (Ⅱ) |
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開課學期 |
112-2 |
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授課對象 |
理學院 應用數學科學研究所 |
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授課教師 |
李志煌 |
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課號 |
MATH7510 |
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課程識別碼 |
221 U3420 |
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班次 |
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學分 |
3.0 |
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全/半年 |
半年 |
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必/選修 |
必修 |
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上課時間 |
星期二6,7(13:20~15:10)星期四7(14:20~15:10) |
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上課地點 |
天數102天數102 |
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備註 |
總人數上限：40人 |
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課程簡介影片 |
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核心能力關聯 |
本課程尚未建立核心能力關連 |
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課程大綱
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為確保您我的權利,請尊重智慧財產權及不得非法影印
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課程概述 |
This course is the second-half of a yearly sequence of measure-theoretic probability theory. Tentative topics include: Conditional expectations, martingales, Markov chains, ergodic theory, Brownian motion. If time allows, we will also talk a little bit of stochastic calculus. |
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課程目標 |
Students will understand the basics of measure-theoretic probability.? |
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課程要求 |
Probability theory (I). |
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預期每週課後學習時數 |
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Office Hours |
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指定閱讀 |
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參考書目 |
Here are some reference books:
Probability and Measure, by P. Billingsley, 3rd edition, Wiley, 1995.
Probability: Theory and Examples, by R. Durrett. 5th edition. Cambridge U. Press 2019.
Probability with martingales, by D. Williams. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
Probability theory lecture notes by D. Panchenko. |
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評量方式
(僅供參考) |
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No. |
項目 |
百分比 |
說明 |
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1. |
作業 |
30% |
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2. |
期中考 |
30% |
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3. |
期末考 |
40% |
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週次 |
日期 |
單元主題 |
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第1週 |
2/20 |
- 條件期望值複習。
- 討論高斯向量情況下的條件期望值，以及與線性回歸的關係。 |
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第1週 |
2/22 |
- 濾鍊機率空間的定義及範例。
- 鞅、上鞅、下鞅的定義及範例。 |
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第2週 |
2/27 |
- 可預測序列的定義，並透過他來構造鞅。
- 停止時間的定義、範例。
- 停止 σ 代數的定義。
- 停止時間有限情況下的停止定理。 |
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第3週 |
3/5 |
- Doob 上升不等式及下鞅的 a.s. 收斂。
- 鞅 a.s. 收斂的範例及應用：簡單對稱隨機漫步、分支過程。
- 封閉鞅的 a.s. 及 L^1 收斂。 |
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第4週 |
3/14 |
- 均勻可積的等價性質。
- 對子 σ 代數做條件期望值，得到的是均勻可積的隨機變數。
- 隨機過程及鞅 L^1 收斂與均勻可積等價的條件。 |
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第4週 |
3/12 |
- Doob 最大值不等式。
- 鞅的 L^p 收斂。
- 均勻可積的定義及範例。 |
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第5週 |
3/19 |
- 鞅的停止定理。
- 上鞅的停止隨機變數及條件期望值。
- 在隨機漫步上停止定理的應用。
- 定義逆鞅的概念。
- 證明 L^1 有界的逆上鞅會 a.s. 收斂。 |
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第5週 |
3/21 |
- 證明 L^1 有界的逆上鞅是均勻可積，且會在 L^1 中收斂。
- 利用逆鞅來證明 a.s. 及 L^1 版本的大數法則。 |
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第6週 |
3/26 |
- 定義轉移矩陣及馬可夫鏈的概念。
- 馬可夫鏈的範例及基本性質。
- 討論圓柱事件及正則馬可夫鏈的構造。 |
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第6週 |
3/28 |
- 完成正則馬可夫鏈的構造。
- 定義平移算子。
- 敘述並證明簡單馬可夫性質及強馬可夫性質。
- 定義重現狀態及暫現狀態、定義位勢核。 |
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第7週 |
4/2 |
- 馬可夫鏈重現集合分割。
- 引入不可約馬可夫鏈的概念。 |
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第8週 |
4/9 |
- 不變測度與可逆測度的定義。
- 可逆測度也會是不變測度，逆命題不成立。
- 有重現態的情況下，不變測度有唯一性。
- 正重現與零重現的定義。
- 不可約且存在有限不變測度的馬可夫鏈必定為正重現。 |
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第8週 |
4/11 |
- 不可約重現馬可夫鏈遍歷性的敘述、證明及應用。 |
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第9週 |
4/16 |
- 馬可夫鏈週期的定義。
- 耦合的概念。
- 定義全變差距離。
- 不可約、正重現、無週期馬可夫鏈分佈收斂到不變機率測度的敘述及證明。
- 鞅與馬可夫鏈的關係、離散 Dirichlet 問題。 |
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第9週 |
4/18 |
- 平穩過程與測度守恆變換的定義及範例。
- 平穩過程為測度守恆變換的特例。
- 不變 σ 代數及遍歷性的定義。 |
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第10週 |
4/23 |
- 馬可夫鏈不可約性與遍歷性等價。
- 混合性蘊含遍歷性。
- Birkhoff 遍歷定理的敘述及證明。 |
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